Многополярное поле: различия между версиями

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-==<span style="color:blue">Современное понятие поля</span> ==
-<span style="color:blue">Поле</span> – алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в других отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения.
-Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные — сложение и умножение, и обратные им — вычитание и деление). Этим же характеризуются и поле. Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия — сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики:
-I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. е. <span style="color:blue">a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.</span>
-II. Существует элемент <span style="color:blue">0</span> ([[Единица|ноль]]), для которого всегда <span style="color:blue">а + 0 = а;</span> для каждого элемента <span style="color:blue">а</span> существует противоположный <span style="color:blue">-а,</span> и их сумма равна нулю, то есть <span style="color:blue">а – а = 0</span>. Отсюда следует, что в поле выполнима операция вычитания <span style="color:blue">а - b.</span>
-III. Существует элемент <span style="color:blue">е</span> ([[единица]]), для которого всегда <span style="color:blue">ае = а</span>; для каждого отличного от нуля элемента <span style="color:blue">а</span> существует обратный <span style="color:green">a<sup>-1</sup>;</span> их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число <span style="color:blue">а</span>.
-IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом: <span style="color:blue">a (b + c) = ab + ac.</span>
-<span style="color:red">*Критика.</span>
-.	Как и следовало ожидать, здесь математики склеивают понятие числа и полярности. Например, наличие обратных элементов суть наличие полярных объектов. Поэтому <span style="color:blue">а – b= 0</span> или <span style="color:blue">a • a<sup>-1</sup> = a<sup>-1</sup> • a = e</span> характеризуют полярные состояния, но не числа.
-.	Взаимообратными могут быть не только два обратных элемента. Например, в так называемом кольце Ли <span style="color:blue">а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a<sup>2</sup> = 0</span> выражено отношение трёх полярностей, как некоторый частный случай многополярных колец Ленского.
-===<span style="color:blue">Многополярное поле или поле Ленского</span>===
-Взаимообратными могут быть не только два обратных элемента. Раньше были приведены группы Ленского, где в пространстве будет столько обратных элементов, сколько в нём полярностей.
-Подобное встречается и в современной математике, где, например, в так называемом кольце Ли <span style="color:blue">а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a<sup>2</sup> = 0</span> выражено отношение трёх полярностей, как некоторый частный случай <span style="color:blue">многополярных групп</span> Ленского.
-. Современное понятие поля расширяется с применением многополярных алгебр так, что существующее поле входит как частный случай в многообразие многополярных полей. Например, в отличие от кольца Ли в плоскостном отношении могут быть кольца:
-четырёхполярные <span style="color:blue">ί + j + k + γ = 0</span>,
-пятиполярные <span style="color:blue">а + b + с + d + l = 0</span> и так далее. Тем не менее, число полярностей не произвольно, так как оно определяет только свои законы отношений.
-. <span style="color:blue">Многополярное поле</span> или поле Ленского не ограничивается тремя видами связей: сложением, умножением и делением (см. дальше <span style="color:blue">Интенсивности связей</span>).
-. Поля Ленского определяются видами лок (см. [[Многополярная математика|Пространства]]). При этом «плоскостные пространства» определяют операции сложения, а «объёмные пространства» - операции умножения.
-. Каждое многополярное поле или поле Ленского есть взаимоотношение пространств с разными видами связи. Например, плоскостная лока с пятью элементами <span style="color:blue">ί, j, k, γ, 0</span> и объёмная лока могут образовать поле, в котором
-<span style="color:blue">ί + j + k + γ = 0</span>, а также ί<sup>2</sup> =j, j<sup>2</sup> = γ и так далее (см. «Комплексные числа. Четырёхполярность» в разделе [[Многополярная математика|Пространства]]).
-В результате на этом поле <span style="color:blue">(ί + j + k + γ)(ί + j + k + γ) = 0*0</span> будет равно вещественному числу <span style="color:blue">4.</span> В отличие от сегодня принято <span style="color:blue">0*0 = 0.</span>
-. Следует обратить внимание на тот факт, что до образования поля есть простая алгебра, но так, что там нет ни «сложения», ни «вычитания». <span style="color:blue">Операции поля, то есть алгебры, начинаются только тогда, когда в отношение вводятся пространства с сохранением своих единиц.</span> Например, в трёхполярности с полярностями <span style="color:blue">a, b, е</span>, будет <span style="color:blue">a•b = e,</span> <span style="color:blue">a•a = b, b•b = a.</span> Если же эту локу представить в двух видах с двумя самостоятельными единицами, обозначив одну единицу 1, а другую 0, то получим возможность взаимодействия этих пространств. Здесь будет  (<span style="color:blue">a)(b) = 1, (a)(a) = b, (b)(b) = a</span> и к тому же
-<span style="color:blue">a + b = 0,</span> а так же <span style="color:blue">а + а = b, b + b = a.</span>
-Хотя в результате взаимодействий таких пространств получим <span style="color:blue">1 + 1 = 0</span>, то пусть это не считается (по причине привыкания к известным алгебрам) противоречием. Здесь единица обратная самой себе. В отличие от существующей алгебры, здесь взято пространство «сложения» циклическое, такое, что<span style="color:blue"> a + а + а = а</span>,
-<span style="color:blue">b + b + b = b.</span>
-Произвола в многополярности нет; результаты зависят от выбранных пространств и их отношений.

Многополярное поле: различия между версиями

Версия 10:37, 12 июня 2009

Навигация

Поиск