История
Развитие научной мысли двигалось так, что постепенно поляризация объектов мышления в математике увеличивалась. Сначала ввели «отрицательные» числа. Это тут же чётко выделило «абсолютные» числа как не поляризованное. Фактически абсолютные и натуральные числа это одно и то же, то есть не поляризованные числа. К сожалению, «абсолютные» числа склеили с «положительными». Это стало тормозить развитие полярных отношений.
В арифметике появляется три полярности +, -, 0, но в «умножении» ещё две: +, –, так, что а) (+)*(+) = +, б) (+)*(–) = –, в) (–)*(+) = –, г) (–)*(–) = +.
Алгебра добавляет деление и тем самым, третью полярность в «умножении». Из а/а = 1 ещё не следует поляризации, но а/-а = -1, уже появляется +, –, е, Здесь элемент е вытесняет предыдущий +. Если в алгебре «действительных чисел» (+)*(+) = +, то теперь в теории групп (е)*(е) = е. Дали название е как «единица».
Появилась необходимость ввести термин «идемпотентный элемент». Вместе с арифметикой будет: 0 + 0 = 0, (+)*(+) = +, (е)*(е) = е. Заметили ли математики, что деление и появление «единицы» увеличило число полярностей с двух до трёх? Нет.
Следующим ходом к арифметическим трём полярностям +, –, 0 добавляются «мнимые» числа, как следствие необходимости извлекать «корень квадратный» из отрицательно поляризованных чисел. От неожиданности новые числа назвали «мнимыми». Как и деление, извлечение корня «растягивает» область полярных чисел. Теперь появляются «кватернионы». Четыре полярности ί, j, k, + составляют четырёхполярное пространство.
У.Гамильтон изобретает «кватернионы» путем введения в суперпозицию трёх изоморфных систем «комплексных» чисел, но с огромным противоречием в самой системе отношений. Напрасно математики спасали эту систему, так как в ней доказвается, что + = – , ί = –ί, j = –j, k = – k . Никакая альтернативность умножения эту систему не спасёт. Иначе, можно изобретать всё, что хочешь, нарушая принцип математики – аксиоматичность и чёткость доказательств.
Три фактора сковали творческую мысль математиков: а) арифметика, которая напрямую связана с действительностью (поэтому числа четырёхполярности назвали «мнимыми»); б) невнимательность, поэтому не заметили даже то, что деление и извлечение корня увеличивает число полярностей; в) неаккуратность, по причине которой, законы, полученные в найденном варианте отношений, тут же подражанием распространялись во все области математики.
Натуральные числа это не «положительные» числа. «Положительное» число поляризовано в совокупности с «отрицательным». Поэтому, безотносительные 15 лошадей могут поляризоваться так, что 10 лошадей «моих», а 5 лошадей «чужие». Если мы производим операцию 15 – 5 = + 10, так как +10 и – 5 уже поляризованные числа. Безотносительные числа лучше называть «натуральными».
Пока в арифметике безотносительное констатирование факта наблюдений (15 лошадей, три озера, двадцать журавлей), то там нет алгебры. Но уже в арифметике начинается вычитание, то есть тут же числа поляризуются. Алгебра имеет дело не с натуральными, а с поляризованными объектами и числами. Натуральные числа тут безынтересные.